Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano de A por B ao conjunto A X B formado pelos pares ordenados de números reais (a,b) tais que a pertence a A e b pertence a B
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1, 2} e B = {3, 4}, o produto cartesiano de A por B é:
A X B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
Partição de um conjunto
Entendemos como partição de um conjunto qualquer E ao conjunto de partes não vazias de E, disjuntas duas a duas e cuja reuião é o próprio conjunto E. Somente conjuntos não vazios podem ser particionados.
Exemplo:
Seja o conjunto E = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8)
{1, 2}, {0, 3}, {5, 7, 8} é uma partição do conjunto E.
Relação Binária
No ensino da Matemática a maneira como as grandezas se relacionam é chamada de relação. Uma relação é chamada de binária quando o relacionamento possui somente duas grandezas envolvidas. Assim, relação binária é qualquer subconjunto do produto cartesiano de dois conjuntos.
As relações binárias mais interessantes são aquelas que possuem uma lei relacionando os elementos do par ordenado.
Exemplo:
Seja A X B = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4)}, o produto cartesiano de A por B
R = {(2, 2), (2, 4)} é uma relação binária em A X B
Relação de Equivalência
É toda relação binária que possui as três propriedades seguintes: reflexiva, simétrica e transitiva.
Reflexiva: Todo elemento relaciona-se consigo mesmo; Simétrica: Se o primeiro relaciona-se com o segundo, então o segundo relaciona-se com o primeiro; Transitiva: Se o primeiro relaciona-se como segundo e o segundo com o terceiro, então o primeiro relaciona-se com o terceiro.
Exemplo:
A relação de paralelismo entre as retas r, s e t, é uma relação de equivalencia pois:
a) r//r; s//s; t//t (Reflexiva)
b) Se r//s então s//r (Simétrica)
c) Se r//s e s//t então r//t (Transitiva)
Aplicação ou Função
É a toda relação binária num produto cartesiano de A X B na qual para todo x de A existe um único y em B. Note que uma aplicação ou função é uma relação especial onde não existe excessão nem ambiguidade. Toda aplicação possui um conjunto de partida também chamado domínio, um conjunto de chegada ou contra domínio e ainda um conjunto denominado imagem que é onde se encontram todos os elementos y relacionados. Podemos definir funções de várias variáveis; ou seja oriundas de relações de várias grandezas.
Exemplo:
1) f(x) = 3x + 4 2) f(x, y) = x + y - 2xy + 8
Aplicação ou Função Sobrejetora
Dizemos que uma aplicação ou função é sobrejetora quando ela é uma aplicação de um conjunto E em outro conjunto F, sendo E e F não vazios, tal que todo elemento y de F seja a imagem de pelo menos um elemento x de E. Note que o conjunto de chegada é esgotado; ou seja o conjunto imagem possui tantos elementos quanto o contradomínio.
Exemplo:
A função linear f(x) = 5x + 12 no conjunto dos números reais é uma aplicação sobrejetora.
Aplicação ou Função Injetora
Dizemos que uma aplicação ou função de um conjunto E, não vazio, em um outro conjunto F, também não vazio, é injetora se para todo x de E existe um único elemento y em F; isto é, para dois diferentes valores de x de E existem dois diferentes valores de y em F.
Exemplo:
A função f(x) = 3x + 2 é injetora pois f(a) = 3a + 2 e f(b) = 3b + 2
Aplicação ou Função Bijetora
Dizemos que uma aplicação ou função é bijetora quando ela é simultaneamente sobrejetora e injetora.
Exemplo:
A função linear f(x) = 5x + 12 no conjunto dos números reais é uma aplicação bijetora.
